Question

若不等式x2-logmx＜0在（0，[1/2]）内恒成立，则实数m的取值范围为______．

Answer 1

解题思路：把已知的不等式变形，转化为一个二次函数和一个对数函数的图象高低问题，然后列出不等式求解m的取值范围．

由x²-log_mx＜0，得x²＜log_mx，在同一坐标系中作y=x²和y=log_mx的草图，如图所示

要使x²＜log_mx在（0，[1/2]）内恒成立，只要y=log_mx在（0，[1/2]）内的图象在y=x²的上方，

于是0＜m＜1

∵x＝

1

2时，y＝x2＝

1

4

∴只要x＝

1

2时，y＝logm

1

2≥

1

4＝logmm

1

4，

∴[1/2≤m

1

4]，即

1

16≤m．

又0＜m＜1，

∴

1

16≤m＜1．

即实数m的取值范围是[

1

16，1)．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查了恒成立问题，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，正确画出图象是解答该题的关键，是中档题．