（本题满分12分）椭圆 E 的中心在坐标原点 O - 知识问答

（本题满分12分）椭圆 E 的中心在坐标原点 O ，焦点在 x 轴上，离心率为．点 P （1，）、 A 、 B 在椭圆

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（1）
;
（2） x +2 y +2=0．
本试题主要是考查了椭圆方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的运用。
（1）由
=
及
解得 a²=4， b²=3，
椭圆方程为
；再设出点A,B，利用点差法得到斜率。
（2）由（1）知，点 A （ x₁, y₁）、 B （ x₂, y₂）的坐标满足
点 P 的坐标为（1，
）, m =-3，于是 x₁+ x₂+1=3+ m =0， y₁+ y₂+
=3+
+
=0，
因此△ PAB 的重心坐标为（0，0）．即原点是△ PAB 的重心．
，进而得到直线的方程。
（1）由
=
及
解得 a²=4， b²=3，
椭圆方程为
；
设 A （ x₁, y₁）、 B （ x₂, y₂），由
得
（ x₁+ x₂-2， y₁+ y₂-3）= m （1，
），即
又
，
，两式相减得
;
（2）由（1）知，点 A （ x₁, y₁）、 B （ x₂, y₂）的坐标满足
，
点 P 的坐标为（1，
）, m =-3，于是 x₁+ x₂+1=3+ m =0， y₁+ y₂+
=3+
+
=0，
因此△ PAB 的重心坐标为（0，0）．即原点是△ PAB 的重心．
∵ x₁+ x₂=-1， y₁+ y₂=-
，∴ AB 中点坐标为（
，
），
又
，
，两式相减得
;
∴直线 AB 的方程为 y +
=
（ x +
）,即 x +2 y +2=0．

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