Question

（2013?衡阳）如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4

Answer 1

（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，

又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，

∴∠ABE=∠BCF，

∵在△ABE和△BCF中，

AB＝BC

∠ABE＝∠BCF

∠AEB＝∠BFC，

∴△ABE≌△BCF（AAS），

∴AE=BF，

∴AE²+CF²=BF²+CF²=BC²=16为常数；

（2）设AP=x，则PD=4-x，

由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，

∴△PDM∽△BAP，

∴[DM/AP]=[PD/BA]，

即[DM/4?x]=[x/4]，

∴DM=

x(4?x)

4=x-[1/4]x²，

当x=2时，即点P是AD的中点时，DM有最大值为1．