Question

已知函数f（x）=x2-2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[-1，2]，∃x2∈[-1，2]，使得f（x1）

Answer 1

解题思路：根据二次函数的图象求出f（x）在[-1，2]时的值域为[-1，3]，再根据一次g（x）=ax+2（a＞0）为增函数，求出g（x₂）∈[2-a，2a+2]，由题意得f（x）值域是g（x）值域的子集，从而得到实数a的取值范围．

∵函数f（x）=x²-2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称

∴x₁∈[-1，2]时，f（x）的最小值为f（1）=-1，最大值为f（-1）=3，

可得f（x₁）值域为[-1，3]

又∵g（x）=ax+2（a＞0），x₂∈[-1，2]，

∴g（x）为单调增函数，g（x₂）值域为[g（-1），g（2）]

即g（x₂）∈[2-a，2a+2]

∵∀x₁∈[-1，2]，∃x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₂），

∴

2−a≤−1

2a+2≥3⇒a≥3

故选D

点评：

本题考点： 函数的值域．

考点点评： 本题着重考查了函数的值域，属于中档题．本题虽然是一道小题，但完全可以改成一道大题，处理的关键是对“任意”、“存在”的理解．