已知定义在R上的函数f(x)=ax的3次方-2bx平方+cx+4d的图像关于原点对称.且x=1时.f(x)取得极小值-2

1个回答

  • (1)f(x)的图像关于原点对称,它是奇函数

    所以 b=0,d=0

    f(x)=ax³+cx

    f'(x)=3ax²+c

    f'(1)=3a+c=0 (1)

    f(1)=a+c=-2/5 (2)

    解方程,得 a=1/5,c=-3/5

    f(x)=x³/5 -3x/5

    (2) f'(x)=3x²/5-3/5

    假设存在这样的两点,横坐标分别为x1,x2

    则f'(x1)f'(x2)=-1

    (9/25) (x1²-1)(x2²-1)=-1

    因为 x1²-1≤0,x2²-1≤0,

    (9/25) (x1²-1)(x2²-1)≥0,不可能等于-1

    所以,函数图像上不存在2点.使得这2点处的切线互相垂直;

    (3)f'(x)=3x²/5-3/5=(x²-1)*(3/5)≤0恒成立

    所以 f(x)在【-1,1】上递减

    最小值为f(1)=-2/5

    最大值为f(-1)=2/5

    |f(x1)-f(x2)|≤f(x)最大值-f(x)最小值=2/5-(-2/5)=4/5

    命题成立