Question

抛物线上的向量问题已知A.B为抛物线X平方=2PY（P大于0）上两点,直线AB过焦点F,A,B在准线上的射影分别为C,D

Answer 1

(1)由题可设点A(2pa,2pa²),B(2pb,2pb²),又焦点F(0,p/2),准线y=-p/2.由三点A,F,B共线可知,4ab=-1.(2)由题意,可设点K(x,-p/2).则向量KA=(2pa-x,2pa²+p/2),KB=(2pb-x,2pb²+p/2).KA·KB=(2pa-x)(2pb-x)+(2pa²+p/2)(2pb²+p/2)=0.结合4ab=-1,该方程可解得x=p(a+b).即点K(pa+pb,-p/2).易知,点C(2pa,-p/2),D(2pb,-p/2).显然,点K在准线y=-p/2上,且恰为线段CD的中点,故符合题设条件的点K是存在的.

还应考虑原点