已知在椭圆E:x的平方/a的平方+y的平方/b的平方=1(a>b>0)中,以F1(-C,0)为圆心,a-c

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  • 已知在椭圆E:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)中,以F1(-c,0)为圆心,a-c为半径作圆F1,过点B2(0,b)作圆F1的两条切线,设切点分别为M,N两点,若过两个切点M,N两点的直线恰好经过点B1(0,-b),则椭圆E的离心率为?

    圆F1:(x+c)²+y²=(a-c)² ①

    过点B2所作圆F1的两条切线的切点分别为M,N两点,

    于是M,N关于直线F1B2对称,且F1M⊥B2M,F1N⊥B2N,

    所以F1、M、B2、N四点共圆,

    且此圆直径为F1B2,圆心为F1B2中点Q(-c/2,b/2),

    又F1B2=a,所以圆Q:(x+c/2)²+(y-b/2)²=(a/2)² ②

    ①-②得M,N两点坐标满足:

    [(x+c)²-(x+c/2)²]+[y²-(y-b/2)²]=[(a-c)²-(a/2)²]

    即 (c/2)(2x+3c/2)+(b/2)(2y-b/2)=(a/2-c)(3a/2-c)(一个直线方程)③

    因为过两个切点M,N的直线恰好经过点B1(0,-b),

    将B1的坐标代入③得:(c/2)(3c/2)+(b/2)(2(-b)-b/2)=(a/2-c)(3a/2-c)

    因为椭圆中,b²=a²-c²,代入并整理得:c²+2ac-2a²=0

    两边除以a²,又椭圆离心率e=c/a,于是:e²+2e-2=0

    即 (e+1)²=3 ④

    因为离心率 e>0,所以 e+1=√3,e=√3-1.