因式分解典型例题
例1 多项式x2+ax+b因式分解为(x+1)(x-2),求a+b的值．
分析 根据因式分解的概念可知因式分解是一种恒等变形,而恒等式中的对应项系数是相等的,从而可以求出a和b,于是问题便得到解决．
解 由题意得：x2+ax+b=(x+1)(x-2),所以
x2+ax+b=x2-x-2,
从而得出
a=-1,b=-2,
所以
a+b=(-1)+(-2)=-3．
点评 “恒等式中的对应项系数相等”这一知识是求待定系数的一种重要方法．
例2 因式分解6a2b+4ab2-2ab．
分析 此多项式的各项都有因式2ab,提取2ab即可．
解 6a2b+4ab2-2ab=2ab(3a+2b-1)．
点评 用“提公因式法”分解因式,操作时应注意这样几个问题：首先,所提公因式应是各项系数的最大公约数与相同字母最低次幂的乘积,即提取的公因式应是多项式各项的最高公因式,否则达不到因式分解的要求；其次,用“提公因式法”分解因式,所得结果应是：最高公因式与原多项式各项分别除以最高公因式所得商式的乘积．如果原多项式中的某一项恰是最高公因式,则商式为1,这个1千万不能丢掉．
本例题中,各项的公因式有2,a,b,2a,2b,ab,2ab等．其中2ab是它们的最高公因式,故提取2ab．作为因式分解后的一个因式,另一个因式则是分别用6a2b,4ab2和-2ab除以2ab所得的商式代数和,其中-2ab÷2ab=-1,这个-1不能丢．
例3 因式分解m(x+y)+n(x+y)-x-y．
分析 将-x-y变形为-(x+y),于是多项式中各项都有公因式x+y,提取x+y即可．
解 m(x+y)+n(x+y)-x-y
=m(x+y)+n(x+y)-(x+y)
=(x+y)(m+n-1)．
点评 注意添、去括号法则．
例4 因式分解64x6-1．
分析 64x6可变形为(8x3)2,或变形为(4x2)3,而1既可看作12,也可看作13,这样,本题可先用平方差公式分解,也可先用立方差公式分解．
解 方法一
64x6-1=(8x3)2-1
=(8x3+1)(8x3-1)
=[(2x)3+1][(2x)3-1]
=(2x+1)(4x2-2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1)
方法二
64x6-1=(4x2)3-1
=(4x2-1)(16x4+4x2+1)
=(2x+1)(2x-1)(16x4+8x2+1-4x2)
=(2x+1)(2x-1)[(4x2+1)2-(2x)2]
=(2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1)(4x2-2x+1)
点评 在分解因式时,尽管采用的方法不同,但结果应是相同的．本题的两种解法,显然第一种方法比较简单．
点评 分解因式时,应首先考虑各项有没有公因式,如果有公因式,一定先提公因式,然后再考虑能否用其它方法继续分解．本题如果先提2,应如何分解?
例6 因式分解(x+y)2-6(x+y)+9．
分析 可将x+y当作一个整体,此多项式便是关于这个整体的二次三项式,显然它可用完全平方公式分解．
解 (x+y)2-6(x+y)+9
=(x+y)2-2×3×(x+y)+32
=(x+y-3)2．
点评 在运用公式分解因式时,一定要掌握公式的特点,尤其要注意完全平方公式中一次项系数的特点．
例7 因式分解x2+6x-7．
分析 这个二次三项不符合完全平方公式的特点,首先,二次项与常数项不同号,其次,常数项的绝对值不是一次项系数一半的平方,所以不能直接用公式分解,但经过适当的变形后,便可用公式分解．另外,这样的二次三项式可用十字相乘法分解．
解 方法一
x2+6x-7=x2+6x+9-9-7=(x+3)2-16
=(x+3+4)(x+3-4)=(x+7)(x-1)
方法二 x2+6x-7=(x+7)(x-1)
点评 方法一叫配方法．用配方法分解二次三项式时,其前提是二次项系数为1（如果二次项系数不是1,则提取这个系数,使二次项系数转化为1）；其关键是,加上紧接着减去一次项系数绝对值一半的平方,这样便达到配方的目的．在用十字相乘法分解二次三项式时,主要考虑的是十字相乘后的代数和应是一次项．
例8 因式分解3x2-7x-6．
分析 本题二次项系数不是1,如果用配方法分解,则应首先提取二次项系数3,然后再加、减一次项系数一半的平方；如果用十字相乘法分解,既要考虑好首尾两项的分解,更要考虑到十字相乘后的代数和应是中间项（即一次项）．
解 方法一
方法二 3x2-7x-6=(3x+2)(x-3)．
点评 用十字相乘法分解因式,在排列算式时,应想到同行不应有公因式（如本题二次项所分出的3x与常数项所分出的3不能放在同行,只能与分解出的另一个因式2放在同行）这是因为,如果同行有公因式,此公因式在开始分解时就应提出．掌握这一点会简化操作过程．从上述两例可以明显看出,在有理数范围内分解二次三项式ax2+bx+c用十字相乘法比较方便,但随着数的范围的扩大,就看出配方法的重要了．于是便出现这样的问题：在分解二次三项式ax2+bx+c时,何时用公式法?何时用十字相乘法?何时用配方法?我们可用b2-4ac的结果来判别：
b2-4ac=0时,用完全平方公式分解；
b2-4ac＞0且是一个完全平方数时,用十字相乘法分解；
b2-4ac＞0但不是完全平方数时,用配方法分解；
b2-4ac＜0时,在有理数范围内和将来学到的实数范围内都不能分解．
至于为什么可用b2-4ac的结果来作上述判断,这个问题在今后的学习中会得到解决．
例9 因式分解2ax-10ay+5by-bx．
分析 用分组分解法．可将一、二两项和四、三两项分别作为一组,这样不仅每组可分解,而且确保继续分解．
解 2ax-10ay+5by-bx
=2ax-10ay-bx+5by
=(2ax-10ay)-(bx-5by)
=2a(x-5y)-b(x-5y)
=(x-5y)(2a-b)．
点评 本题还可以一、四两项一组,二、三两项一组,但不能一、三项和二、四项分组,可见分组要恰当．分组是否恰当,以能否达到因式分解的目的为标准．所以,分组后各组系数成比例则是恰当分组的重要条件．
例10 因式分
（1）x2-2xy+y2-1 （2）x2-2y-y2-1
分析 这两小题都不能平均分组,因为平均分组后,各组系数不可能成比例,从而达不到因式分解的目的,但经过观察可知,如果将（1）题前三项和第四项分组,将（2）题第一项和后三项分组,则可先用完全平方公式继而用平方差公式将其分解．
解 （1）x2-2xy+y2-1
=(x2-2xy+y2)-1
=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)
（2）x2-2y-y2-1=x2-y2-2y-1
=x2-(y2+2y+1)
=x2-(y+1)2=(x+y+1)(x-y-1)
点评 在分解四项式时,也应首先考虑是否有公因式,如果有,要先提公因式然后再考虑分组,在分组时,又有两两分组、一三分组和三一分组三种不同分法,这就需要做到具体问题具体分析．对某些特殊的四项式也可直接用完全立方公式分解,即a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3．对五项式或五项以上的多项式也采用分组分解法．
例11 因式分解x2+4xy+3y2+x+3y．
分析 本题的前三项可以分解为(x+y)(x+3y),其中(x+3y)正好与后两项完全一样,所以本题作三二分组,问题便得到解决．
解 x2+4xy+3y2+x+3y
=(x2+4xy+3y2)+(x+3y)
=(x+y)(x+3y)+(x+3y)
=(x+3y)(x+y+1)．
例12 因式分
（1）a2+2ab+b2+2a+2b+1,
（2）a2+2ab+b2+2a+2b-3,
（3）a2+3ab+2b2+2a+b-3．
分析 这三道题都不能平均分组,经观察,它们都可以三二一分组,分组后,（1）题可经过两次完全平方公式分解,（2）题可经过一次公式和一次十字相乘分解,而（3）题则可经过两次十字相乘分解．
解 （1）a2+2ab+b2+2a+2b+1
=(a2+2ab+b2)+(2a+2b)+1
=(a+b)2+2(a+b)+1=(a+b+1)2．
（2）a2+2ab+b2+2a+2b-3
=(a2+2ab+b2)+(2a+2b)-3
=(a+b)2+2(a+b)-3
=(a+b+3)(a+b-1)．
（3）a2+3ab+2b2+2a+b-3
=(a2+3ab+2b2)+(2a+b)-3
=(a+b)(a+2b)+(2a+b)-3
=(a+b-1)(a+2b+3)．
例13 已知4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0,求证：
2x2+3xy+y2-x-y=0
分析 要证明一个多项式的值为零,通常是将此多项式分解因式．若分解后的因式中有一个值为零,则原多项式的值为零．经过分组分解,可知2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1),若x+y或2x+y-1为零,则原多项式的值为零．为达此目的,就要从条件入手．
证明 因为4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0,所以
(2x+y)2-2(2x+y)+1=0,
(2x+y-1)2=0．
所以
2x+y-1=0．
又因为
2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1)．
而
2x+y-1=0,
所以
2x2+3xy+y2-x-y=0．
例14 已知3x2-4xy-7y2+13x-37y+m能分解成两个一次因式的乘积,求m的值．并将此多项式分解因式．
分析 根据因式分解的概念和乘法法则可知,原多项式所分解得的两个因式必然都是三项式,而原多项式的前三项可分解为(3x-7y)(x+y),于是可设原多项式分解为(3x-7y+a)(x+y+b),再根据恒等式中的对应项系数相等,便能使问题得到解决．
解 设3x2-4xy-7y2+13x-37y+m
=[(3x-7y)+a][(x+y)+b]
=3x2-4xy-7y2+(a+3b)x+(a-7b)y+ab．
对应项系数相等,所以
由（1）（2）解得a=-2,b=5．将a=-2,b=5代入（3）,得
m=-10．
所以 3x2-4xy-7y2+13x-37y+m
=3x2-4xy-7y2+13x-37y-10
=(3x-7y+a)(x+y+b)
=(3x-7y-2)(x+y+5)．
例15 已知｜x-3y-1｜+x2+4y2=4xy,求x与y的值．
分析 在通常情况下,由一个方程求两个未知数的值,条件是不够的,但在特殊条件下又是可行的,这“特殊条件”包括非负数的和等于零的性质．本题已有一个明显的非负数,即｜x-3y-1｜,而另一个非负数可由因式分解得到．于是问题能够解决．
解 因为｜x-3y-1｜+x2+4y2=4xy,所以
｜x-3y-1｜+x2-4xy+4y2=0
即
｜x-3y-1｜+(x-2y)2=0
所以
解这个方程组,得
x=-2,y=-1．
例16 因式分
（1）x4+4y4； （2）x3+5x-6．
分析 这两个多项式既无公因式可提,也不能直接用公式或直接分组分解．经过观察：（1）题若加上4x2y2,随之减去4x2y2,这样既保证多项式的值不变,又可先用完全平方公式继而用平方差公式分解．（2）题如果将5x拆成-x+6x便可分组分解．或者,将-6拆成-1-5也可分组分解．
解 （1）x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2
=(x2+2y2)2-(2xy)2
=(x2+2xy+2y2)(x2-2xy+2y2)．
（2）x3+5x-6=x3-x+6x-6
=(x3-x)+(6x-6)
=x(x+1)(x-1)+6(x-1)
=(x-1)(x2+x+6)
点评 若将-6拆成-1-5,应如何分解?
例17 已知x2-2xy-3y2=5,求整数x和y的值．
分析 原式左端可分解为两个一次因式的乘积,由题意可知,这两个因式都表示整数,这样只能是一个因式为1（或-1）,而另一个因式为5（或-5）．于是便可列出方程组求出x和y的值．
解 因为x2-2xy-3y2=5,所以
(x-3y)(x+y)=5．
依题意x,y为整数,所以x-3y和x+y都是整数,于是有：
解上述方程组得：
例18 已知A=(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)+49（x为整数）,求证：A为一个完全平方数．
证明 因为A=(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)+49
=(x2-x-6)(x2-x-20)+49
=(x2-x)2-26(x2-x)+169
=(x2-x-13)2
所以A是一个完全平方数．
这里是些基本题
事实上我觉得因式分解什么的最简单了 你应该找点难的 学分式会有很大用的