解题思路：（1）函数项级数在其收敛域内有和，其值与收敛点有关，记做S（x），S（x）称为级数
∞
n＝1
u
n
(x)
的和函数，即
S(x)＝
∞
n＝1
u
n
(x)
．
（2）求幂级数的和函数，利用逐项求导、逐项积分，以及四则运算与复合手段，将其化为可求和的形式．
（3）对于本题先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1．求出和函数后，再按通常方法求极值．
f′(x)＝
∞
n＝1(−1)nx2n−1＝−
x
1+x2，
对上式两边从0到x积分，得：
f(x)−f(0)＝−
∫x0
t
1+t2dt＝−
1
2ln(1+x2)，
又由f（0）=1，得：
f(x)＝1−
1
2ln(1+x2)，(|x|＜1)，
令f′（x）=0，求得唯一驻点x=0，
而：f″(x)＝−
1−x2
(1+x2)2，
所以：f″（0）=-1＜0，
故：f（x）在x=0处取得极大值，且极大值为f（0）=1．
点评：
本题考点： 幂函数在收敛区间内和函数的求法；求函数的极值点．
考点点评： 本题考察幂级数的和函数的求法，以及函数最值的计算方法，是一道中档题．