Question

已知a、b为实数,且b>a>c 其中c为自然数对数的底,求证a的b次方 >b的a次方

Answer 1

首先b和a都是大于自然对数的底c的,那么它们显然都大于1,取对数后大于0.那么要证a^b>b^a,只要证blna>alnb(两边取自然对数),只要证lna/a>lnb/b.考虑函数f(x)=lnx/x,求导f'(x)=1/x^2-lnx/x^2=(1-lnx)/x^2,当lnx>1时,f'(x)a>c,所以有lnb>lna>1,有f(b)lnb/b,由此可证原命题