Question

求对数函数和指数函数的导函数最好能附上推导过程

Answer 1

e的定义：

e=lim(x→∞)(1+1/x)^x=2.718281828...

设a>0,a!=1

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(log a(x))'

=lim(Δx→∞)((log a(x+Δx)-log a(x))/Δx)

=lim(Δx→∞)(1/x*x/Δx*log a((x+Δx)/x))

=lim(Δx→∞)(1/x*log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))

=1/x*lim(Δx→∞)(log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))

=1/x*log a(lim(Δx→0)(1+Δx/x)^(x/Δx))

=1/x*log a(e)

特殊地,当a=e时,(log a(x))'=(ln x)'=1/x.

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设y=a^x

两边取对数ln y=xln a

两边对求x导y'/y=ln a

y'=yln a=a^xln a

特殊地,当a=e时,y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x.