Question

已知函数f（x）=ax 2 +bx-1满足以下两个条件：

Answer 1

（1）由函数f（x）=ax ²+bx-1满足以下两个条件：

①函数f（x）的值域为[-2，+∞）；②任意x∈R，恒有f（-1+x）=f（-1-x）成立．

所以可知：函数f（x）有最小值-2=

-4a- b 2

4a ，a＞0；其函数图象关于直线x=-1对称，即 -1=-

b

2a ，

联立

-2=

-4a- b 2

4a

a＞0

-1=-

b

2a ，解得

a=1

b=2

∴f（x）=x ²+2x-1．

（2）由（1）可知：F（x）=（1-k）x ²-2（1+k）x+k-1．

当k=1时，F（x）=-4x在[-2，2]上是减函数，故k=1满足条件．

当k≠1时，F ^′（x）=2（1-k）x-2（1+k）= 2(1-k)(x-

1+k

1-k )

当满足

k＞1

-2≥

1+k

1-k 时，即1＜x≤3时，F（x）在[-2，2]上单调递减；

当满足

k＜1

2≤

1+k

1-k 时，即

1

3 ≤k＜1 时，F（x）在[-2，2]上单调递减；

综上可知：实数k的取值范围是

1

3 ≤k≤3 ．