Question

如果n阶矩阵A中的所有元素都是1,求出A的所有特征值

Answer 1

n阶矩阵A中的所有元素都是1,则其秩为：r(A)=1

所以,其必有n-1个特征值为0.

而根据特征多项式(对于任意的矩阵）

f(λ)=λ^n-(a11+a22+a33+..ann）λ^(n-1)+.

由此可得：

λ1+λ2+...+λn=a11+a22+a33+..ann

考虑A矩阵

a11+a22+a33+..ann=a1b1+a2b2+...anbn

A中的所有元素都是1

a1b1+a2b2+...anbn

而λ1,λ2,...λn-1=0

则可知有λn=n