楼上说法其实不对.上确界未必是聚点.
这是Bolzano-Weiestrass定理在实数上的特例.原定理说的是在列紧集中的无穷序列必有聚点.
证明的思路其实很简单.数列在某个区间[a,b]中,随便在数列中选一项,设为x,那么这一项后面还有无穷多项就被分配在[a,x]和[x,b]两个区间中,那么,因为有无穷多项,所以两个区间中必定有一个含有这数列的无穷多项,设这个区间是[a',b'],然后可以递归地选取数列中的元素,明显构成一个子数列.然后根据闭区间套定理,这个子数列收敛,收敛处就是原来数列的一个聚点.