Question

（2004•云南）如图，已知△ABC内接于⊙O，AE切⊙O于点A，BC∥AE．

Answer 1

解题思路：（1）利用弦切角定理及平行线的性质，证明∠B=∠C，得出△ABC是等腰三角形；

（2）由于∠CAP=∠B，那么以A、P、C为顶点与△ABC相似的三角形只有△CAP₁或△P₂AC，再根据相似三角形的性质求出AP的长．

（1）证明：∵BC∥AE，

∴∠BCA=∠CAE，

又∵AE切⊙O于点A，

∴∠CAE=∠ABC，

∴∠BCA=∠ABC，

∴AB=AC，

即△ABC是等腰三角形；

（2）射线AE上满足条件的点有两个．

①过点C作AB的平行线交AE于点P₁．

∵BC∥AE，

∴ABCP₁为平行四边形，

∴AP₁=BC=8．

②过点C作⊙O的切线交AE于点P₂，

∴∠P₂AC=∠ABC，

又∠P₂CA=∠ACB，

∴△AP₂C∽△CAB，

∴AP₂：AC=AC：BC，

∴AP₂=AC²：BC=12.5．

点评：

本题考点： 切线的性质；等腰三角形的判定；相似三角形的判定．

考点点评： 综合考查了切线的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质．本题较难．