Question

△ABC中，己知∠A＞∠B＞∠C，且∠A=2∠C，b=4，a+c=8，求a，c的长．

Answer 1

解题思路：根据正弦定理得bsinB=a+csinA+sinC，结合已经条件算出sin2C+sinC=2sin3C，利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简整理，得8cos2C-2cosC-3=0，解出锐角C的余弦值为34．最后利用余弦定理建立关系式，结合a+c=8即可解出边a、c的长．

根据正弦定理[a/sinA]=[b/sinB]=[c/sinC]，得[b/sinB]=[a+c/sinA+sinC]

∵b=4，a+c=8，∠A=2∠C，

∴[4

sin(π−3C)=

8/sin2C+sinC]，可得sin2C+sinC=2sin（π-3C）=2sin3C

∵sin2C=2sinCcosC，sin3C=sin（2C+C）=sin2CcosC+cos2CsinC=2sinCcos²C+sinC（2cos²C-1）

∴2sinCcosC+sinC=2[2sinCcos²C+sinC（2cos²C-1）]

结合sinC＞0，化简整理得：8cos²C-2cosC-3=0，

解之得cosC=[3/4]或cosC=-[1/2]

∵∠A＞∠B＞∠C，得C为锐角，

∴cosC=-[1/2]不符合题意，舍去

根据余弦定理，得cosC=

a2+b2−c2

2ab=[3/4]，

∴

a2+42−(8−a)2

2×a×4=[3/4]，解之得a=[24/5]，c=8-a=[16/5]

综上，a、c的长分别为[24/5]、[16/5]．

点评：

本题考点： 余弦定理；正弦定理．

考点点评： 本题给出△ABC的最大角等于最小角的2倍，最大边与最小边之和等于第三边的2倍，求边a、c的长．着重考查了三角恒等变换和利用正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．