Question

（2014•淄博三模）设函数f（x）=lnx-x2+ax（其中无理数e=2.71828…，a∈R）．

Answer 1

解题思路：（I）利用函数单调性和导数之间的关系，即可求实数a的取值范围；

（Ⅱ）利用导数的几何意义，求出函数的切线，利用函数的最值和导数之间的关系，即可的得到结论．

（Ⅰ）f′(x)＝

−2x2+ax+1

x=-

2x2−ax−1

x，

要使f（x）在（0，e]上不单调，f'（x）在（0，e）内必有零点且在零点左右异号，

即h（x）=2x²-ax-1在（0，e）内有零点且在零点左右异号．

因为△=a²+8＞0，

所以方程2x²-ax-1=0有两个不等的实数根x₁，x₂，由于x₁x₂=−

1

2＜0，

不妨设x₁＜0，x₂＞0，所以x₁＜0，x₂∈（0，e），

由h（x）图象可知：h（0）h（e）＜0，

即2e²-ae-1＞0，解得 a＜2e-[1/e]．

（Ⅱ）因为f′(x0)＝

1

x0−2x0+a，

又切点C（x0，lnx0−

x20+ax0），所以切线l的方程为y−(lnx0−

x20+ax0)＝(

1

x0−2x0+a)(x−x0)，

即y＝(

1

x0−2x0+a)x−1+

x20+ln⁡x0，（x₀为常数）．…（8分）

令g(x)＝f(x)−[(

1

x0−2x0+a)x−1+

x20+ln⁡x0]，

则g（x）=ln⁡x−x2−[(

1

x0−2x0)x−1+

x20+ln⁡x0]，

则g′(x)＝

1

x−2x−(

1

x0−2x0)=−(x−x0)(

2xx0+1

xx0)＝−

2(x−x

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查函数单调性与导数之间的关系，以及导数的几何意义，综合性较强，运算量较大．