Question

圆C1：x2+y2+4ax+4a2−4＝0和圆C2：x2+y2−2by+b2−1＝0相内切，若a，b∈R，且ab≠0，则

Answer 1

解题思路：由题意，圆C1与圆C2的圆心距等于它们半径差的绝对值，求出两圆的圆心C1、C2的坐标和它们的半径，利用两点间的距离公式化简等式|C1C2|=1，得4a2+b2=1．再利用基本不等式加以计算，可得当a2=16、b2=13时，1a2+1b2的最小值等于9．

圆C1：x2+y2+4ax+4a2−4＝0的圆心为C₁（-2a，0），半径r₁=2．

圆C2：x2+y2−2by+b2−1＝0的圆心为C₂（0，b），半径r₂=2．

∵圆C₁与圆C₂相内切，

∴|C₁C₂|=|r₂-r₁|=1，即

(−2a−0)2+(0−b)2=1，化简得4a²+b²=1．

因此，

1

a2+

1

b2=（4a²+b²）（

1

a2+

1

b2）=5+（

b2

a2+

4a2

b2），

∵

b2

a2+

4a2

b2≥2

b2

a2•

4a2

b2=4，∴

1

a2+

1

b2≥5+4=9，

可得：当且仅当

b2

a2＝

4a2

b2时，即a²=

1/6]且b²=[1/3]时，

1

a2+

1

b2的最小值等于9

故答案为：9

点评：

本题考点： 圆与圆的位置关系及其判定；基本不等式．

考点点评： 本题给出含有参数a、b的两圆相内切，求1a2+1b2的最小值．着重考查了圆的标准方程、圆与圆的位置关系和用基本不等式求最值等知识，属于中档题．