已知函数f(x)=lnx-a/x,记函数f(x)图像在点(1,f(1))处的切线方程为y=g(x)

2个回答

  • (1)f(x)=lnx-a/x,函数定义域为(0,+∞),

    求导得:f′(x)=(1/x)+a/x^2

    f′(1)=1+a ,

    点(1,f(1))即(1,-a)

    所以函数f(x)图像在点(1,f(1))处的切线方程为:

    y+a=(1+a)(x-1)

    所以y=g(x)=(1+a)*x-(1+2a) 其中x∈(0,+∞);

    (2)F(x)=f(x)-g(x)=lnx-a/x-(1+a)*x+(1+2a)

    求导得:

    F′(x)=(1/x)+a/x^2-(1+a)

    =[-(1+a)*(x^2)+x+a]/x^2

    F(x)=f(x)-g(x),若F(x)在[1,+∞)上单调递增,

    因此F′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,

    所以:-(1+a)*(x^2)+x+a≥0在[1,+∞)上恒成立,

    当x=1时,明显成立,

    当x≠1时,分离参数得:a≤1-1/(x+1)在(1,+∞)上恒成立,

    因此a≤1/2

    综上可知:若F(x)在[1,+∞)上单调递增,则a的取值范围为(-∞,1/2]

    (3)由(1)知f′(x)=(1/x)+a/x^2,

    若a≥0,则f′(x)>0,函数f(x)单调递增,在x=1处取得最小值,

    此时最小值为-a≤0≠3/2

    所以必须a