Question

已知数列{a n }有a 1 a，a 2 p （常数p＞0），对任意的正整数n，S n a 1 a 2

Answer 1

（1）由 a=a ₁=s ₁和 S n =

n( a n - a 1 )

2 ，

可得 a 1 =

1×( a 1 - a 1 )

2 =0，∴a=0．

（2）∵ S n =

n( a n - a 1 )

2 =

n a n

2 ，∴ S n-1 =

(n-1) • a n-1

2 ．

作差可得 S _n-S _n-1=

n a n

2 -

(n-1) • a n-1

2 ，又S _n-S _n-1=a _n，化简可得

a n

a n-1 =

n-1

n-2 ．

∴a _n =k（n-1），故数列{a _n}是等差数列．

显然满足a ₁=0，a ₂ =p=k•（2-1），∴k=p．

∴a _n =p（n-1）=pn-p．

故故数列{a _n}的通项为a _n =p（n-1），是首项为0，公差为p的等差数列．

（3）∵

a n -1

a n +1 =

(pn-p)-1

(pn-p)+1 ＜1，

lim

n→∞

(pn-p)-1

(pn-p)+1 =1 ，

故数列{

a n -1

a n +1 } 的“上渐进值”为1．