Question

如图，已知矩形纸片ABCD，AB=1.5，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AD、AB交

Answer 1

解题思路：（1）根据相似三角形的性质和折叠的性质可得∠AFG=∠DFE=∠EFG=60°，再根据含30°的直角三角形的性质可求FG的长；

（2）设AG=EG=x，EG的中点为M，过M作MN⊥BC，垂足为N，根据圆的性质和直角三角形的性质可得EC=2MN-BG=2x-1.5，根据勾股定理得到x的值，再分当x=1时，当

AG＝x＝

5

4

时，两种情况讨论，进一步得到tan∠FGA的值．

（1）∵△AGF∽△DEF，

∴∠AFG=∠DFE，

又由折叠知∠AFG=∠EFG，

∴∠AFG=∠DFE=∠EFG=60°，

∴DF＝

1

2EF＝

1

2AF，

∴AF＝

2

3AD＝

2

3，FG＝2AF＝

4

3；

（2）设AG=EG=x，EG的中点为M，过M作MN⊥BC，垂足为N

依题意MN＝

1

2EG＝

1

2x，MN是中位线，

∴EC=2MN-BG=2x-1.5，

由EG²=BC²+（EC-BG）²，即x²=1+（3x-3）²，

解得x=1或x＝

5

4，

当x=1时，AG=EG=1，ADEG是正方形，折痕DG=DG，与已知不符；

当AG＝x＝

5

4时，EC=2x-1.5=1，DE=CD-EC=1.5-1=0.5，

在△DEF中，EF²=DE²+DF²，即AF²=0.5²+（1-AF）²，解得AF＝

5

8，

∴tan∠FGA＝

AF

AG＝

1

2．

点评：

本题考点： 翻折变换（折叠问题）；切线的性质；相似三角形的性质．

考点点评： 考查了相似三角形的性质和折叠的性质，含30°的直角三角形的性质，圆的性质和直角三角形的性质，勾股定理，三角函数，同时涉及到分类思想的应用．