解题思路：（1）根据直线的解析式易求B，C的坐标将，再把其坐标分别代入y=ax2-2ax+c，即可求出抛物线的解析式，设y=0，解方程即可求出A的坐标；（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长；（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值．
（1）∵直线y=4x+4与x轴、y轴相交于B、C两点，
∴C坐标为（0，4），
设y=0，则x=-1，
∴B坐标为（-1，0），
∵抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）过点B、C，
∴
0＝a+2a+c
4＝c，
解得：
a＝−
4
3
c＝4，
∴抛物线的解析式为y=-[4/3]x2+[8/3]x+4，
设y=0，0=-[4/3]x2+[8/3]x+4，
解得：x=-1或3，
∴A的坐标为：（3，0）；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（3，0），点C（0，4），
∴
3k+b＝0
b＝4，解得
k＝−
4
3
b＝4，
∴直线AC的解析式为y=-[4/3]x+4．
∵点M的横坐标为m，点M在AC上，
∴M点的坐标为（m，-[4/3]m+4），
∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y=-[4/3]x2+[8/3]x+4上，
∴点P的坐标为（m，-[4/3]m2+[8/3]m+4），
∴PM=PE-ME=（-[4/3]m2+[8/3]m+4）-（-[4/3]m+4）=-[4/3]m2+4m，
即PM=-[4/3]m2+4m（0＜m＜2）；
（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：
由题意，可得AE=3-m，EM=-[4/3]m+4，CF=m，PF=-[4/3]m2+[8/3]m+4-4=-[4/3]m2+[8/3]m．
若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：
①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，
即（-[4/3]m2+[8/3]m）：（3-m）=m：（-[4/3]m+4），
∵m≠0且m≠3，
∴m=[23/16]．
②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，
即m：（3-m）=（-[4/3]m2+[8/3]m）：（-[4/3]m+4），
∵m≠0且m≠3，
∴m=1．
综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为[23/16]或1．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．