Question

已知函数f（x）=2x-12x，且2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，则实数m的取值范围是_____

Answer 1

解题思路：先将已知代入，然后进行化简（用到因式分解），然后将问题转化为函数的最值问题求解．

由f（x）=2^x-

1

2x得2^tf（2t）+mf（t）≥0，

即2t(22t−

1

22t)+m(2t−

1

2t)≥0当t∈[1，2]时恒成立．

即2t(2t+

1

2t)(2t−

1

2t)+m(2t−

1

2t)≥0①在[1，2]上恒成立；

因为当t在区间[1，2]上取值时，2^t＞1，所以2t−

1

2t＞0．

所以①式可化为（2^t）²+m+1≥0恒成立，显然当t=1时（2^t）²+m+1取最小值，即5+m≥0，所以m≥-5．

故答案为m≥-5．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查了不等式的恒成立问题，一般转化为函数的最值问题求解．