数列求和问题1.设正项等比数列an的首项a1=1/2,前n项和为Sn,且2的10次方倍的S30-(2的10次方+1)S2

3个回答

  • 1、(1)求an的通项

    a1=1/2,设公比q,q>0.

    Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

    2^10*S[30]-(2^10+1)S[20]+S[10]=0

    2^10*(S[30]-S[20])-(S[20]-S[10])=0

    因为S[30]-S[20]=q^10(S[20]-S[10])

    方程两边同除以(S[20]-S[10])得:

    则:2^10*q^10-1=0

    即q^10=(1/2)^10,q>0

    解得:q=1/2

    所以a[n]=(1/2)^n

    (2)求nSn的前n项和Tn

    q=1/2,a[n]=(1/2)^n时,S[n]=1/2(1-(1/2)^n)/(1-1/2)=1-(1/2)^n

    nS[n]=n-n*(1/2)^n

    ∑n=n(n+1)/2

    因为:∑n*(1/2)^n-(1/2)*∑n*(1/2)^n=1/2-n*(1/2)^(n+1)

    所以:∑n*(1/2)^n=1-n(1/2)^n

    所以Tn=∑n=n(n+1)/2-∑n*(1/2)^n=n(n+1)/2+n(1/2)^n-1

    2.已知公差不为0的等差数列an中部分项ak1,ak2,.akn(k1 k2 kn均是下标)恰好构成等比数列,其中k1=1 k2=5 k3=17,求k1+k2+k3.+kn

    设首先为m,公差为d.

    a[k1]=a[1]=m

    a[k2]=a[5]=m+4d

    a[k3]=a[17]=m+16d

    (m+4d)^2=m(m+16d)

    化简得:16d^2=8md,d≠0,所以:2d=m

    a[1]=2d

    a[5]=m+4d=6d

    公比q=a[5]/a[1]=3

    等差数列中:a[kn]=a1+(kn-1)d=2d+(kn-1)d

    等比数列中:a[kn]=a[k1]*q^(n-1)=2d*3^(n-1)

    所以:

    2d+(kn-1)d=2d*3^(kn-1)

    化简得:kn+1=2*3^(n-1)

    kn=2*3^(n-1)-1

    所以:

    ∑kn=∑{2*3^(n-1)-1} [n=1,2,3,4……n,共n项]

    =2(1-3^n)/(1-3)-n [注:前面是等比数列求和]

    =3^n-n-1