（1）
O为BC中点,AO垂直于BC；O为A1的投影,A1O垂直于BC
所以BC垂直于面AA1O,所以BC垂直于AA1,命题得证
（2）
过O做OE垂直于AC于E,连接A1E.由三垂线定理A1E垂直AC.则角A1EO即为所求角.
测棱AA1和底面成45度角,即角A1AO=45°,三角形A1AO中角A1OA为直角,所以A1O=A0.
三角形AOE中,角EAO=30°则EO=1/2AO=1/2A1O
三角形A1OE中,角A1OE=90°,则tan角A1EO=A1O/EO=2
即二面角为arctan2
（3）
额……第三问好像是承接第二问来的吧……要不求不出数来（至少我没求出来）
先说下思路：
在三角形A1BC中,做BF垂直于A1C交A1O于点F,在三角形A1AO中,过F做FD平行于AO交A1A于点D,D为所求点.证明如下：
AO垂直于BC（O为BC中点）,AO垂直于A1O（A1O是面ABC的垂线）所以AO垂直面A1CB,所以AO垂直于A1C.FD平行AO,所以FD垂直A1C
又有BF垂直于A1C
则A1C垂直于面BFD,则A1C垂直于BD.此时D点满足题目要求.
DF平行于AO.三角形A1AO中有：A1D/AD=A1F/FO.
………………………………………………………………
到这就有问题了,如果不是在第二问的情况下,A1F/FO并不是一个定值.而且估计也只有在第二问的情况下才可求A1F/FO的值了.
若在第二问的条件下,
A1O垂直平分BC,所以A1BC是等腰三角形.
A1O=AO,则三角形A1BO与ABO全等（角边角）.角A1BO=角ABO=60°
综上三角形A1BC是等边三角形.
A1F/FO=BF/FO=1/sin角FBO=2
此时A1D/DA=2
即A1D/DA=2时BD垂直于A1C