设C(x,y)
因C为AB中点
故x1+x2=2x ①
y1+y2=2y ②
因OA垂直于OB
即向量OA垂直于向量OB
OA·OB=0
即x1x2+y1y2=0 ③
因A,B在抛物线上
故y1^2=2px1,y2^2=2px2
消去x1,x2
得:(y1y2)²/(4p)²+y1y2=0
显然y1y2≠0
故(y1y2)/(4p)²+1=0
即y1y2=-4p²
这样2x=x1+x2=(y1^2+y2^2)/(2p)
=[(y1+y2)^2-2y1y2]/(2p)
=(4y²+8p²)/(2p)
整理即得:
y²+p²=px
即C点的轨迹方程为y²+p²=px