解题思路：用数学归纳法进行证明，先证明当n=1时，等式成立．再假设当n=k时等式成立，进而证明当n=k+1时，等式也成立；
证明：（1）当n=1时，左=[1/3]=右，等式成立．
（2）假设当n=k时等式成立，
即
12
1•3+
22
3•5+…+
k2
(2k−1)(2k+1)＝
k(k+1)
2(2k+1)，
当n=k+1时，左边=
12
1•3+
22
3•5+…+
k2
(2k−1)(2k+1)+
(k+1)2
(2k+1)(2k+3)=
k(k+1)
2(2k+1)+
(k+1)2
(2k+1)(2k+3)＝
(k+1)(k+2)
2(2k+3)．
∴当n=k+1时，等式也成立．
综合（1）（2），等式对所有正整数都成立．
点评：
本题考点： 数学归纳法．
考点点评： 数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．