常系数二阶线性齐次方程的求解——特征根法 1、对象： 其中 是两个常数. 2、分析： 若 是它的解,即代入方程成立,根据方程特殊的结构可见解函数应当是无论怎样求导,其导函数与本身都属同一类函数而仅仅是系数上有差异,这样才有可能其和为0.那么有哪类函数据有这个性质呢,从导数运算那章中很易发现以e为底的指数函数 具有这种性质, 和 差一点具有.由此我们想到用 （ 为一待定常数）形式的待定形式解 去验证： 代入方程得 由于 得到一个代数的一元二次方程. 3．特征方程 它与原微分方程具有共同的代数结构特征,我们称它为： 定义9.10 称 为原微分方程 的特征方程 4、解释： 尽管 是二阶常微分方程,而 是初中时学的一元二次代数方程,完全是两码事,但是它们具有共同的代数结构,顾名思义,特征方程就是体现原微分方程的代数结构. 这一特点对于n阶常系数齐次线性方程同样适用 的特征方程为 由此可见为何我们只讨论二阶,因一元二次方程有求根公式,无论什么情况都可解,而一元n次方程求解比较麻烦,要用因式分解理论,且出现的情况较多较复杂. 5、特征根法 1）由上面的分析,我们可见 求解方法了,即 定理9.7 对于 若 是其特征方程 的根,则 即是原微分方程的解. 2）讨论. 线性方程的通解包含了所有解,所以求解线性方程就是求出其通解,由前面讨论的齐次方程通解结构定理9.2知,二阶线性齐方程,必须找两个线性无关解 ,则其线性组合 为其通解. 而一元二次方程 的求根有三种情况以下分别讨论之. 当 判别式 时,它有两互异实根 . 则可验知 与 线性无关. 为原方程通解. 说明：线性相关,线性无关的理论在代数中有细致的讨论,我们这里仅给一个感性的认识,两函数线性相关意即；可以互相线性表出,（或说成比例）比如 则 .两函数线性无关即不成比例.显然这里 与在 时是线性无关的. 当 判别式 时,具有相等的两实根 ,或说只有一个二重实根,于是原方程仅找到一个解 ,必须还得找一个与之无关的解,才能得到原方程的通解.这里不详述其原因的给一个结论；可验知 也是原方程的一个解,而且它与 线性无关. * 此时原方程通解为 的判别式 方程有两共轭复根 （ 是虚单位 ） 此时可验知 是原方程两无关解,原方程通解为： 综合以上讨论,对于 都可求解了. 例如 特征方程 解得特征根 原方程通解为
（恳）询问一个高中数学问题在竞赛书上看到求数列通项公式有一种方法,叫特征根法,请问是什么意思?