已知椭圆C:x225+y29=1,直线l与椭圆C交于A,B两不同的点.P为弦AB的中点.

1个回答

  • 解题思路:(1)设出P,A,B的坐标,得到三点坐标的关系,把A,B的坐标代入椭圆方程后作差,代入直线l的斜率整理后即可得到答案;

    (2)由题意可知,若直线l存在,则l不与坐标轴垂直,同样利用点差法,结合弦中点的坐标求出斜率,则答案可求.

    (1)设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).

    ∵P为弦AB的中点,∴x1+x2=2x,y1+y2=2y.

    x12

    25+

    y12

    9=1①

    x22

    25+

    y22

    9=1②

    ②-①得,

    y2−y1

    x2−x1=−

    9(x1+x2)

    25(y1+y2).

    ∴−

    9x

    25y=

    4

    5,整理得:9x+20y=0(-4<x<4)

    ∴点P的轨迹方程为:9x+20y=0(-4<x<4);

    (2)存在,直线l的方程为:12x-15y-25=0

    假设存在直线l,使得弦AB恰好被点(

    4

    3,−

    3

    5)平分.

    则直线l的斜率存在切部位0,设斜率为k,

    由(1)得k=

    y2−y1

    x2−x1=−

    9(x1+x2)

    25(y1+y2)=−

    8

    3

    25×(−

    6

    5)=

    12

    15.

    ∴直线l的方程为:y+

    3

    5=

    12

    15(x−

    4

    3),整理得,12x-15y-25=0.

    点评:

    本题考点: 直线与圆锥曲线的关系;与直线有关的动点轨迹方程.

    考点点评: 本题考查了直线与圆锥曲线的关系,训练了“点差法”,涉及中点弦问题.利用点差法能起到事半功倍的作用,该题是中档题.