Question

已知函数ƒ（X）=ax^3-3x+1对于任意x∈[-1,1]总有ƒ（x)≥0成立,求实数a的值.

Answer 1

由f(1)≥0得：a≥2

f'(x)=3ax²-3

判别式△=36a>0

令f'(x)=0,得两个极值点：x1=-1/√a,x2=1/√a

根据三次函数图像特征：

f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)区间递增,(x1,x2)区间递减

由于x2=1/√a∈(0,1),所以函数的极小值f(x2)需≥0

即：a*(1/√a)³-3/√a+1≥0

解得：a≥4

再由f(-1)≥0得：a≤4

所以：a=4