（1）可通过构建相似三角形来求证．连接DE、DF,通过证三角形AED、ADB和三角形AFD、ADC相似,得出AE、AB以及AF、AC和AD之间的关系,通过AD这个中间值来得出所求的比例关系．
（2）依然成立,因为这要能证得（1）中的两个三角形相似,就能得出（1）中的结论,BC上上平移的过程中,两个三角形相似的条件（一个公共角,一组直角）没有改变,因此仍相似,所以（1）中的结论仍成立．
（1）如图1,连接DE．
∵AD是圆O的直径,
∴∠AED=90°．
又∵BC切圆O于点D,
∴AD⊥BC,∠ADB=90°．
在Rt△AED和Rt△ADB中,∠EAD=∠DAB,
∴Rt△AED∽Rt△ADB．
∴ AEAD=ADAB,即AE•AB=AD2
同理连接DF,可证Rt△AFD∽Rt△ADC,AF•AC=AD2
∴AE•AB=AF •AC．
（2）AE•AB=AF •AC仍然成立．
如图2,连接DE,因为BC在上下平移时始终与AD垂直,设垂足为D',则∠AD′B=90°
∵AD是圆O的直径,
∴∠AED=90°
又∵∠D′AB=∠EAD
∴Rt△AD′B∽Rt△AED
∴ ABAD=AD′AE
AE•AB=AD′•AD
同理AF •AC=AD′•AD
∴AE•AB=AF•AC
同理可证,当直线BC向下平移与圆O相离如图3时,AE •AB=AF •AC仍然成立．