（1）过C作CD⊥x轴于D，
∵OA=1+t，
∴OC=1+t，
∴
，
，
∴点C的坐标为
；
（2）①当⊙O与OC相切时（如图1），切点为C，此时PC⊥OC，
∴
，
∴
，
∴
；
②当⊙P与OA，即与x轴相切时（如图2），则切点为O，PC=OP，
过P作PE⊥OC于E，则OE=
OC，
∴
，
∴
；
③当⊙P与AB所在直线相切时（如图3），设切点为F，PF交OC于G，
则PF⊥OC，
∴
，
∴
，
过C作CH⊥y轴于H，则
，
∴
，
化简，得
，
解得
，
∵
，
∴
，
∴所求t的值是
，
和
。