设AB,AC直线分别为
x - t² = m(y - t)
y - t² = n(y - t)
可求出yB = m - t,yC = n - t.
k = (yB - yC) / (xB - xC) = (yB - yC) / (yB² - yC²) = 1 / (yB + yC) = 1 / (m + n - 2t)
即判断(m + n - 2t)是否可能为定值,即判断 m + n 是否可能为定值
∵AB,AC为切线,∴圆心到直线的距离 = 半径
| 2 + 3m + tm - t² | / sqrt(m² + 1) = r (sqrt表示开平方)
即 (2 + 3m + tm - t²)² = r² (m² + 1)
同样 (2 + 3n + tn - t²)² = r² (n² + 1)
两式相减,得
(4 + (3 + t)(m + n) - 2t²)(3 + t) = r² (m + n)
∴m + n = 2(2 - t²)(t + 3) / (r² - (t+3)²)
当 t = - 3 或 ±√2 时,m + n = 0,k = - 1 / 2t 为与r无关的定值
故存在定点A,使k与r无关,A与k的值分别为
A(9,- 3),k = 1/6
A(2,√2),k = - 1 / 2√2
A(2,-√2),k = 1 / 2√2