(2011•珠海二模)函数f(x)=[1/2a]x2-(1+[1a2)x+1/a]lnx,a∈R.

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  • 解题思路:(1)求出f′(x)把a=-1代入到f′(x),令f′(x)>0时,得到函数的递增区间;令f′(x)<0时,得到函数的递减区间;

    (2)在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况;

    (3)g(x)>f(x)恒有解,分类参数可得即b2>3[

    1

    2

    1

    x

    2

    +

    1

    x]]有解,利用换元法和导数研究函数k(t)=

    1

    2

    t

    2

    +t,

    t∈[

    1

    3

    ,1]

    的最值,即可求得结论.

    f′(x)=[1/ax−1−

    1

    a2+

    1

    ax]

    =[1/ax][x2-(a+[1/a])x+1]=[1/ax](x-a)(x-[1/a])

    由题设知x>0

    a-[1/a]=

    (a+1)(a−1)

    a

    (1)a=-1时,f′(x)<0,则f(x)的单减区间是(0,+∞)

    (2)①0<a<1时,a-[1/a]<0,即0<a<

    1

    a,则f(x)在(0,a)和([1/a],+∞)上单增,在(a,[1/a])上单减

    ②a=1时,a=[1/a]=1,f′(x)≥0,则f(x)在(0,+∞)上单增

    ③a>1时,a-[1/a]>0即0<[1/a]<a,则f(x)在(0,[1/a])和(a,+∞)上单增,在([1/a],a)上单减

    (3)由(2)知,a=2,1<x<3时,

    当x=2时f(x)得到最小值为f(2)=−

    3

    2+

    1

    2ln2

    ∴1<x≤3时,g(x)>f(x)恒有解,需b2x2-3x+[1/2ln2>−

    3

    2+

    1

    2ln2在1<x<3时有解

    即b2>3[−

    1

    2•

    1

    x2+

    1

    x]]有解,

    令t=[1/x∈[

    1

    3,1],k(t)=−

    1

    2t2+t,t∈

    点评:

    本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 考查学生利用导数研究函数单调性的能力,理解函数恒成立取到的条件,考查应用知识分析解决问题的能力和运算能力,分离参数转化为求函数的最值是解题的关键,体现了转化的数学思想方法,属难题.

    1年前

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