解题思路:(1)求出f′(x)把a=-1代入到f′(x),令f′(x)>0时,得到函数的递增区间;令f′(x)<0时,得到函数的递减区间;
(2)在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况;
(3)g(x)>f(x)恒有解,分类参数可得即b2>3[
−
1
2
•
1
x
2
+
1
x]]有解,利用换元法和导数研究函数k(t)=
−
1
2
t
2
+t,
t∈[
1
3
,1]
的最值,即可求得结论.
f′(x)=[1/ax−1−
1
a2+
1
ax]
=[1/ax][x2-(a+[1/a])x+1]=[1/ax](x-a)(x-[1/a])
由题设知x>0
a-[1/a]=
(a+1)(a−1)
a
(1)a=-1时,f′(x)<0,则f(x)的单减区间是(0,+∞)
(2)①0<a<1时,a-[1/a]<0,即0<a<
1
a,则f(x)在(0,a)和([1/a],+∞)上单增,在(a,[1/a])上单减
②a=1时,a=[1/a]=1,f′(x)≥0,则f(x)在(0,+∞)上单增
③a>1时,a-[1/a]>0即0<[1/a]<a,则f(x)在(0,[1/a])和(a,+∞)上单增,在([1/a],a)上单减
(3)由(2)知,a=2,1<x<3时,
当x=2时f(x)得到最小值为f(2)=−
3
2+
1
2ln2
∴1<x≤3时,g(x)>f(x)恒有解,需b2x2-3x+[1/2ln2>−
3
2+
1
2ln2在1<x<3时有解
即b2>3[−
1
2•
1
x2+
1
x]]有解,
令t=[1/x∈[
1
3,1],k(t)=−
1
2t2+t,t∈
点评:
本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 考查学生利用导数研究函数单调性的能力,理解函数恒成立取到的条件,考查应用知识分析解决问题的能力和运算能力,分离参数转化为求函数的最值是解题的关键,体现了转化的数学思想方法,属难题.
1年前
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