Question

（2014•上海二模）在数列{an}中，a1=1，且对任意的k∈N*，a2k-1，a2k，a2k+1成等比数列，其公比为

Answer 1

解题思路：（1）由题设知

a

2k+1

a

2k−1

＝4

，由此能求出a₁+a₃+a₅+…+a_2k-1的值．

（2）①由a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差数列，其公差为d_k，知2a_2k+1=a_2k+a_2k+2，再由

a

2k

＝

a

2k+1

q

k

，能够证明{b_k}是等差数列，且公差为1．

②由d₁=2，得a₃=a₂+2，解得a₂=2，或a₂=-1．由此进行分类讨论，能够求出D_k．

（1）∵数列{a_n}中，a₁=1，且对任意的k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比数列，公比q_k=2（k∈N^*），

∴

a2k+1

a2k−1＝4，

∴a₁+a₃+a₅+…+a_2k-1=

1−4k/1−4]=[1/3(4k−1)．

（2）①∵a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差数列，其公差为d_k，

∴2a_2k+1=a_2k+a_2k+2，

而a2k＝

a2k+1

qk]，a_2k+2=a_2k+1•q_k+1，

∴[1

qk+qk+1＝2，则qk+1−1＝

qk−1

qk，

得

1

qk+1−1＝

qk

qk−1，

∴

1

qk+1−1−

1

qk−1＝1，即b_k+1-b_k=1，

∴{b_k}是等差数列，且公差为1．

②∵d₁=2，∴a₃=a₂+2，

则有a22＝1×a3＝a2+2，

解得a₂=2，或a₂=-1．

（i）当a₂=2时，q₁=2，∴b₁=1，

则b_k=1+（k-1）×1=k，

即

1

qk−1＝k，得qk＝

k+1/k]，

∴

a2k+1

a2k−1=

(k+1)2

k2，

则a2k+1＝

a2k+1

a2k−1

点评：

本题考点： 等差数列与等比数列的综合；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列的前n项和的计算，等差数列的证明，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意计算能力的培养．