二次函数与圆的知识一样,在初中数学占有重要的地位.对二次函数的考查经常跟方程等知识相结合.
概念与图像
重点难点
(1)能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围.
(2)理解抛物线的有关概念,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象,探索掌握二次函数的性质.
内容提要
(1)形如y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数,a叫做二次函数的系数,b叫做一次项的系数,c叫作常数项．
(2)当aO时,抛物线y=ax2开口向上,在对称轴的左边,曲线自左向右上升；在对称轴的右边,曲线自左向右下降,顶点抛物线上位置最高的点.图象的这些特点,反映了当aO时,函数y=ax2的性质；当x0时,函数值y随x的增大而增大；与xO时,函数值y随x的增大而减小,当x=0时,函数值y＝ax2取得最大值,最大值是y＝0.
典型一例
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
求增种树的棵数与橙子总产量之间的函数关系.
假设果园增种x棵橙子树,果园橙子的总产量为y(个),依题意,果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子.
y=(100+x)(600-5x)
=-5x2+100x+60000.
图象性质
重点难点
(1)确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系,理解函数y=a(x－h)2＋k的性质.
(2)正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质是难点.
探索求知
1.你能发现函数y=2(x－1)2＋1的图象有哪些性质吗?
函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向上平称1个单位得到的,也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的.
当x＜1时,函数值y随x的增大而减小,当x＞1时,函数值y随x的增大而增大；当x=1时,函数取得最小值,最小值y=1.
2.你能说出函数y=－13(x－1)2＋2的图象与函数y=－13x2的图象的关系,由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
函数y＝－13(x－1)2＋2的图象可以看成是将函数y=－13x2的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的,其开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标是(1,2)
描点法
重点难点
(1)用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象;通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标.
(2)理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－b2a、(－b2a,4ac－b24a)是难点.
探索求知
1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口向下,对称轴为直线x＝2,顶点坐标是(2,1).
2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?
函数y＝－4(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的.
3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质?
当x＜2时,函数值y随x的增大而增大,当x＞2时,函数值y随x的增大而减小；当x＝2时,函数取得最大值,最大值y＝1.
4．不画出图象,你能直接说出函数y＝－12x2＋x－52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
因为y＝－12x2＋x－52＝－12(x－1)2－2,所以这个函数的图象开口向下,对称轴为直线x＝1,顶点坐标为(1,－2).
经典一例
请画出函数y＝－12x2＋x－52的图象,并说明这个函数具有哪些性质.
分析:由以上探索求知,大家已经知道函数y＝－12x2＋x－52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.根据这些特点,可以采用描点法作图的方法作出函数y＝－12x2＋x－52的图象,进而观察得到这个函数的性质.
(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表；
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … －612
－4 －212
－2 －212
－4 －612
…
(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点.
(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点,得到函数y＝－12x2＋x－52的图象.
说明：(1)列表时,应根据对称轴是x＝1,以1为中心,对称地选取自变量的值,求出相应的函数值.相应的函数值是相等的.
(2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定,且允许x轴、y轴选取的长度单位不同.所以要根据具体问题,选取适当的长度单位,使画出的图象美观.
则可得到这个函数的性质如下:
当x＜1时,函数值y随x的增大而增大；当x＞1时,函数值y随x的增大而减小；
当x＝1时,函数取得最大值,最大值y＝－2.
解决问题
重点难点
根据实际问题建立二次函数的数学模型,并确定二次函数自变量的范围,既是这部分知识的重点也是难点.
探索求知
1．通过配方,写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)y＝6x2＋12x； (2)y＝－4x2＋8x－10.
y＝6(x＋1)2－6,抛物线的开口向上,对称轴为x＝－1,顶点坐标是(－1,－6)；y＝－4(x－1)2－6,抛物线开口向下,对称轴为x＝1,顶点坐标是(1,－6).
2. 以上两个函数,哪个函数有最大值,哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少?
函数y＝6x2＋12x有最小值,最小值y＝－6,函数y＝－4x2＋8x－10有最大值,最大值y＝－6.
、定义与定义式：
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx+b（k,b为常数,k≠0）
则称y是x的一次函数.
特别地,当b=0时,y是x的正比例函数.
II、一次函数的性质：
y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k
即 △y/△x=k
III、一次函数的图象及性质：
1． 作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线,可以作出一次函数的图象——一条直线.因此,作一次函数的图象只需知道2点,并连成直线即可.
2． 性质：在一次函数上的任意一点P（x,y）,都满足等式：y=kx+b.
3． k,b与函数图象所在象限.
当k＞0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大；
当k＜0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小.
当b＞0时,直线必通过一、二象限；当b＜0时,直线必通过三、四象限.
特别地,当b=O时,直线通过原点O（0,0）表示的是正比例函数的图象.
这时,当k＞0时,直线只通过一、三象限；当k＜0时,直线只通过二、四象限.
IV、确定一次函数的表达式：
已知点A（x1,y1）；B（x2,y2）,请确定过点A、B的一次函数的表达式.
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b.
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x,y）,都满足等式y=kx+b.所以可以列出2个方程：
y1=kx1+b① 和 y2=kx2+b②.
（3）解这个二元一次方程,得到k,b的值.
（4）最后得到一次函数的表达式.
V、一次函数在生活中的应用
1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数.s=vt.
2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数.设水池中原有水量S.g=S-ft.
解一次函数,首先要知道一次函数在图象中是两个点确定的一条直线,要知道它的解析式是Y＝KX＋B,其中B不能为零（为零的话就是正比例函数了）,k是直线在Y轴上的截距,解决一次函数的关键是解决K和B的问题,所以要充分利用题目中的条件,找到两个坐标点,并列关于K和B的二元一次方程组,从而求得一次函数的解析式.要注意一次函数和正比例函数的关系,也就是正比例函数是一次函数的特例,也就是正比例函数在Y轴的截距为零,解正比例函数只需要一个坐标,解决K问题即可.另外,要注意训练一下有关与一次函数相结合的实际应用的问题,因为这部分在考题当中还是经常出现的,应加强这方面的训练