解题思路：根据所给的过一个点的切线方程，求导以后作出在这一点的导数，求出字母系数，得到数列的表示式，利用裂项做出数列的前n项和，求出极限．
∵过函数f （x）=x2+bx图象上的点A（1，f（1））的切线为3x-y-1=0，
∴f′（x）=2x+b，
∴2+b=3，
∴b=1，
∴
1
f(n)＝
1
n(n+1)
∴
lim
n→∞Sn＝
lim
n→∞
n/n+1]=1
故答案为：1．
点评：
本题考点： 数列的极限．
考点点评： 本题考查数列的极限，解题的关键是求出数列的前n项和，裂项法求前n项和的方法比较常见，注意数字的运算不要出错．