如图在三棱锥P-ABC中PA⊥平面ABC∠BAC=90°D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1PA=2

1个回答

  • 取AC的中点G.连接GF,GE.知GE = 1/2,GF= 1 (中位线)

    且GE//AB,GF//PA.,DE//AC.

    由于PA垂直于平面ABC,故GF垂直于ABC.从而GF垂直于DE.(垂直于平面.就垂直于平面上的任何直线) 又DF垂直于GE,故DE垂直于平面EFG.

    从而平面DEF垂直于平面EFG.(过一平面的垂线的平面,垂直于这平面)

    作GH垂直于EF于H.知GH垂直于平面DEF.(两平面垂直,则一平面内垂直于其交线的直线,垂直于另一平面)

    故H为点G在平面DEF上的投影.HF为GF在平面DEF上的投影.

    故角GFE为直线GF与平面DEF的夹角.

    在直角三角形EFG中,求得:tan角EHG = 1/2.或cos角EFG = 2/根号5 = 2(根号5)/5.

    由于FG//PA,故上述值也是AP与平面DEF所成角的余弦,

    即:直线PA与平面DEF所成角的余弦为:2(根号5)/5