Question

设g（n）是（1-3x）n+5展开式中所有项的系数和，关于x的不等式x2-17•4k-1x+42k≤0（k∈N）

Answer 1

解题思路：（1）令x=1可得，其展开式中所有项的系数之和为（1-3）ⁿ⁺⁵=（-2）ⁿ⁺⁵；

（2）由于x²-17•4^k-1x+4^2k=（x-4^k-1）（x-4^k+1）≤0，解不等式即可得到答案；

（3）由于f（k）为（2）的解集中的自然数解的个数，即可得到f（k）；

（4）g（n）≥s（n）为（-2）ⁿ⁺⁵≥4ⁿ-[n/5]+60，再代入验证，可得结论．

（1）由于g（n）是（1-3x）ⁿ⁺⁵展开式中所有项的系数和，

则令x=1可得，其展开式中所有项的系数之和为（1-3）ⁿ⁺⁵=（-2）ⁿ⁺⁵，

故g（n）=（-2）ⁿ⁺⁵；

（2）由于x的不等式x²-17•4^k-1x+4^2k=（x-4^k-1）（x-4^k+1）≤0（k∈N）

则不等式x²-17•4^k-1x+4^2k≤0（k∈N）的解为：4^k-1≤x≤4^k+1（k∈N），

（3）由于f（k）为（2）的解集中的自然数解的个数，则f（k）=4^k+1-4^k-1+1；

（4）由于f（k）=4^k+1-4^k-1+1=[15/4]•4^k+1，则s(n)＝

1

5

n

k＝1f(k)−

n

5+61=4ⁿ-[n/5]+60，

∴g（n）≥s（n）等价于（-2）ⁿ⁺⁵≥4ⁿ-[n/5]+60，

显然n只能是奇数，n=1时，64＞64-[1/5]；n=3时，256＞124-[3/5]；n=5时，1024＜1083，

∴所求n的值为1，3．

点评：

本题考点： 二项式定理的应用．

考点点评： 本题考查二项式定理，解题的关键是对于二项式性质的变形应用，然后依次合并同类项，得到最简结果．