【检测1】等边对等角；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高.
【检测2】提示：用“SAS”证明△ADB≌△ADC.
【问题1】证明：∵AB＝AC,AO＝AO,OB＝OC．
∴△AOB≌△AOC(SSS)．
∴∠OAB＝∠OAC．
∵AB＝AC,∴AO⊥BC .
【问题2】设∠ACD＝α,则∠EDC＝α,∠A＝∠AED＝2α,
∠ACB＝∠B＝∠BDC＝∠A＋∠ACD＝3α．
在△ABC中,由内角和定理得2α＋3α＋3α＝180°,
∴α＝22.5°．∴∠A＝2α＝45°.
1．D. 2．C.
3．证明：∵AB＝AC,∴∠B＝∠C．
∵∠EAC＝∠B＋∠C,∴∠EAC＝2∠B．
∵AD平分∠EAC,∴∠EAC＝2∠EAD．
∴∠B＝∠EAD．∴AD‖BC.
4．105°.
5．∵AB＝AC,∴∠C＝∠B＝35°．
在△ABC中,∠BAC＝180°－35°×2＝110°．
∵点D在AC的垂直平分线上,
∴DA＝DC．∴∠DAC＝∠C＝35°．
∴∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝110°－35°＝75°.
6．证法一：∵PA＝PB,∴∠A＝∠B．
又∵AC＝BD,
∴△PAC≌△PBD(SAS)．
∴PC＝PD．∴∠PCD＝∠PDC．
证法二：过点P作PE⊥AB于点E．
∵PA＝PB,PE⊥AB．∴AE＝BE．
∵AC＝BD．∴CE＝DE．
∴PC＝PD．∴∠PCD＝∠PDC.
7．设∠C＝α,则∠B＝∠CAD＝α,∠BDA＝∠BAD＝2α,于是α＋2α＋2α＝180°,解得α＝36°．故∠ADB＝72°.
8．此题分三种情况．
(1)当底边上的高与一腰的夹角是40°时,如图①,顶角是80°,从而两个底角是50°,50°；
(2)当一腰上的高与另一腰的夹角是40°且高在三角形内部时,如图②,顶角是50°,从而两个底角是65°,65°；(3)当一腰上的高与另一腰的夹角是40°且高在三角形外部时,如图③,顶角是130°,从而两个底角是25°,25°．综上所述,三个角的度数为80°,50°,50°或50°,65°,65°或130°,25°,25°.
9．（1）∵DA= DC,∴∠A=∠ACD=30°,∴∠CDB=60°．
∵DB=DC,∴∠B=∠DCB=60°,∴∠ACB=90°；
（2）∠ACB=90°；
（3）不论∠A等于多少度（小于90°）,∠ACB总等于90°.
10．B.
11．证明：连接DE,DF．∵AB＝AC,∴∠B＝∠C．
又∵BD＝CF,BE＝CD,∴△BDE≌△CFD(SAS)．
∴DE＝DF．∵EG＝GF,∴DG⊥EF．
第6课时 12.3等腰三角形(2)
【检测1】D.
【检测2】证明：过点A作AD⊥BC,垂足为D．
∵∠B＝∠C,∠ADB＝∠ADC,AD＝AD,
∴△ADB≌△ADC(AAS)．∴AB＝AC；
(2)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等或“等角对等边”.
【问题1】已知：如图,∠DAC是△ABC的外角,且∠DAC＝2∠B．
求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵∠DAC＝2∠B,又∵∠DAC＝∠B＋∠C,
∴∠B＝∠C．∴△ABC是等腰三角形
【问题2】∵BD⊥EF,
∴∠F＋∠FCD＝90°,∠B＋∠E＝90°.
∵AB＝AC,∴∠B＝∠ACB.
∵∠FCD＝∠ACB,∴∠B＝∠FCD.
∴∠E＝∠F.∴AE＝AF.∴△AEF是等腰三角形.
1．C. 2．2cm.
3．∵PD‖OB,∴∠DPO＝∠BOC．
∵∠BOC＝∠AOC,∴∠DPO＝∠AOC．
∴DP＝DO,即△DOP是等腰三角形.
4．3.
5．(1)证明：∵∠C＝90°,∠BAC＝30°,∴∠ABC＝60°．
∵BD平分∠ABC,∴∠DBA＝30°．∴∠BAC＝∠DBA．∴AD＝BD；
(2)在△PAB中,∠BPA＝180°－ ＝135°.
6．证法一：∵AB＝AC,∴∠B＝∠C．
∵DE⊥BC,∴∠BDE＋∠B＝90°,∠F＋∠C＝90°.
∴∠BDE＝∠F．
∵∠BDE＝∠ADF,∴∠F＝∠ADF．∴AF＝AD．
证法二：过点A作AH⊥BC于点H．
∵AB＝AC,AH⊥BC,∴∠HAB＝∠HAC．
∵FE⊥BC,AH⊥BC,∴FE‖AH．
∴∠HAC＝∠F,∠HAB＝∠ADF．
∴∠F＝∠ADF．∴AF＝AD.
7．连接CD．∵AD＝BC,AC＝BD,DC＝CD．
∴△ADC≌△BCD．∴∠ACD＝∠BDC．∴OD＝OC.
8．6.
9．证明：在DC上截取DE＝DB,连接AE．则AB＝AE,
∴∠B＝∠AEB．∵∠B＝2∠C,∴∠AEB＝2∠C．
∵∠AEB＝∠C＋∠EAC,∴∠C＝∠EAC．
∴AE＝EC．∴DC＝DE＋EC＝BD＋AB.
10．D.
11．(1)证明：∵AB＝BA,AC＝BD,∠C＝∠D＝90°,∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．∴∠EAB＝∠EBA．∴AE＝BE.
(2)∵∠AEC＝45°,∠C＝90°,∴∠CAE＝45°．
∴∠CAE＝∠CEA．∴CE＝AC＝1.
第7课时 12.3等腰三角形(3)
【检测1】相等,60；等边三角形,60,60.
【检测2】一,三,作图略.
【问题1】∵△ABC是等边三角形,∴∠A=60°．
又∵AD=AE,∴△ADE是等腰三角形．
∴△ADE是等边三角形．
【问题2】DE=DB,理由：∵CD=CE,∴∠E=∠EDC．
又∵∠ACB=60°,∴∠E=30°．
又∵∠DBC=30°,∴∠E=∠DBC,∴DB=DE．
1．150m. 2．B.
3．∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC＝60°．
∵AD⊥BC,∴∠DAC＝30°．
∵AE＝AD,∴∠ADE＝ ×(180°－30°)＝75°．
∴∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝15°.
4．4. 5．D.
6．∵AP＝PQ＝AQ,∴△APQ是等边三角形．
∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°．
∵AP＝BP,∴∠BAP＝∠B＝ ∠APQ＝30°．
同理,∠CAQ＝30°．
∴∠BAC＝∠BAP＋∠PAQ＋∠CAQ＝30°＋60°＋30°＝120°.
7．（1）∵△ABC为等边三角形,
∴∠B＝∠ACB＝60°,BC＝AC.
又∵BE＝CD．
∴△BCE≌△CAD(SAS)．
∴CE＝AD．
（2）由（1）得∠ECB＝∠DAC．
∴∠APE＝∠DAC＋∠ECA＝∠ECB＋∠ECA＝∠ACB＝60°.
8．证明：如图,延长AE到M,使EM＝AB,连接DM．
∵△ABC为等边三角形,
∴∠A＝60°,且AB＝AC．∴EM＝AC．
∵CD＝AE,∴CD＋AC＝AE＋EM．即AD＝AM．
∴△ADM是等边三角形．
∴DA＝DM,且∠M＝60°．
在△DAB和△DME中,
∴△DAB≌△DME(SAS)．∴DB＝DE.
9．(1)∵△ACD和△BCE都是等边三角形,
∴CA＝CD,CE＝CB,∠ACD＝∠BCE＝60°．
于是∠DCE＝60°．∠ACE＝∠DCB＝120°．
∴△ACE≌△DCB(SAS). ∴AE＝DB.
(2)由第(1)问的结论得∠CAE＝∠CDB．
∵CA＝CD,∠ACG＝∠DCH＝60°．
∴△ACG≌△DCH(ASA)．
∴CG＝CH．而∠DCE＝60°．
∴△CGH是等边三角形.
10．B.
11．证明：(1)∵AB⊥BC,DC⊥BC,
∴∠ABC＝∠BCD＝90°．
∵△PBC和△QCD是等边三角形,
∴∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°.
∴∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°,∠PCD＝ ∠BCD－∠PCB＝30°．
∴∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°．
∴∠PBA＝∠PCQ＝30°．
(2)∵AB＝DC＝QC,∠PBA＝∠PCQ,PB＝PC,∴△PAB≌△PQC,∴PA＝PQ．
第8课时 12.3等腰三角形(4)
【检测1】一半.
【检测2】4cm.
【问题1】连接AD．∵AB＝AC,点D为BC的中点,
∴AD⊥BC,∠BAD＝60°．从而∠ADE＝30°.
∴AD＝2AE.由∠B＝30°得AB＝2AD.
∴AB＝4AE,BE＝3AE．
∴AE∶EB＝1∶3.
【问题2】有触礁的危险．
过点P作PC⊥AB,垂足为点C．
∵∠BPA＝∠PBC－∠A＝15°,
∴∠BPA＝∠A,∴AB＝PB＝15×2＝30．
在Rt△PBC中,PC＝ PB＝15海里＜18海里.
故不改变方向,继续向前航行有触礁的危险.
1．12. 2．4cm2 .
3．连接MA,∵MN垂直平分AB,∴MB＝MA＝12.
且∠AMC＝2∠B＝30°．∴AC＝ AM＝6(cm).
4．3cm.
5．∵ AB＝AC,∠BAC＝120°,∴∠B＝∠C＝30°．
在Rt△CDE中,DC＝2DE＝10．
∵DE垂直平分AC,
∴DA＝DC＝10．∴∠DAC＝∠C＝30°．
于是∠BAD＝120°－30°＝90°．
在Rt△BAD中,BD＝2AD＝20．
故BC＝BD＋DC＝20＋10＝30(cm).
6．∵△ABC是等边三角形,BD为中线,
∴∠ACB＝60°,于是∠DBC＝30°．∴DC＝ BC．
∵ DE＝DB,∴∠E＝∠DBE＝30°.
∴∠CDE＝∠ACB－∠E＝30°．
∴DC＝CE. ∴CE＝ BC．
7．过点P作PC⊥OB于点C．
∵PE⊥OA,OP平分∠AOB,∴PE＝PC．
∵PD‖OA,∴∠OPD＝∠POA．
∵∠POB＝∠POA,∴∠OPD＝∠POB．∴PD＝OD．
∴∠PDC＝∠AOB＝30°.
又∵OD＝4cm,∠PCD＝90°,
∴PC＝ PD＝2 cm．∴PE＝PC＝2 cm.
8．这个命题是正确的．
已知：如图1,在△ABC中,∠ACB＝90°,AB＝2BC．
求证：∠BAC＝30°．
证明：延长BC到点D,使CD＝BC,连接AD．由线段的垂直平分线的性质得AB＝AD．
∵AB＝2BC,BD＝2BC．
∴AB＝BD．∴AD＝AB＝BD．
即△ABD是等边三角形．
∴∠B＝60°．∴∠BAC＝30°.
9．(1)当∠BQP＝90°时,BQ＝ BP．即t＝ (3－t),t＝1(s)；
(2)当∠BPQ＝90°时,BP＝ BQ．即3－t＝ t,t＝2(s)．
故当t＝1 s或t＝2 s时,△PBQ是直角三角形.
10．225a. 提示：过点B作BD⊥AC,垂足为D．则∠BAD＝30°,BD＝ AB＝15m.
11．(1)如图2；
(2)∵l垂直平分AB,
∴∠EDB＝90°,EA＝EB．∴∠EBA＝∠A＝30°．
∵∠ACB＝90°,∴∠ABC＝60°．
∴∠EBC＝∠EBD＝30°．∴DE＝CE＝ BE．
又∵∠F＝90°－∠ABC＝30°,
∴EF＝2CE．∴EF＝2DE．