Question

已知正方体ABCD-A′B′C′D′中，对角线A′C与平面BC′D交于点O，AC、BD交于M，求证：C′、O、M共线．

Answer 1

解题思路：欲证C′，O，M三点共线，只须证它们都在平面A′ACC′与平面DBC′的交线上，根据立体几何中的公理可知，只要说明C′，O，M三点是平面A′ACC′与平面DBC′的公共点即可．

证明：如图，∵C′∈平面A₁ACC′，且C′∈平面DBC′，

∴C′是平面A₁ACC′与平面DBC′的公共点，

又∵M∈AC，

∴M∈平面A′ACC′，

∵M∈BD，

∴M∈平面DBC′，

∴M也是平面A′ACC′与平面DBC′的公共点，

∴C′M是平面A′ACC′与平面DBC′交线，

∵O是A′C与平面DBC′的交点，

∴O∈平面A′ACC′，O∈平面DBC₁，

∴O也是平面A′ACC′与平面DBC′的公共点，

∴O∈直线C′M，

即C′，O，M三点共线．

点评：

本题考点： 三点共线．

考点点评： 本题主要考查了平面的基本性质及推论，做题时目标明确，知道要证什么就需证什么，掌握基本方法．