Question

已知函数 f(x)= x+a x 2 +bx+1 是奇函数，

Answer 1

（1）∵f（x）=

x+a

x 2 +bx+1 是奇函数，

∴f（0）=

0+a

0 2 +0•x+1 =0，

∴a=0；…（2分）

又因f（-x）=-f（x），即

-x

(-x) 2 +b(-x)+1 =-

x

x 2 +bx+1 ，

∴b=0…（4分）

（2）函数y=f（x）在（1，+∞）单调递减…．（6分）

证明：任取x ₁，x ₂∈（1，+∞），设x ₁＜x ₂，

则 f( x 1 )-f( x 2 )=

x 1

x 1 2 +1 -

x 2

x 2 2 +1 =

x 1 x 2 2 + x 1 - x 1 2 x 2 + x 2

( x 1 2 +1)( x 2 2 +1)

=

( x 1 - x 2 )(1- x 1 x 2 )

( x 1 2 +1)( x 2 2 +1) ，…（8分）

∵x ₁＜x ₂，

∴x ₁-x ₂＜0；

∵x ₁＞1，x ₂＞1，

∴1-x ₁x ₂＜0

∴f（x ₁）-f（x ₂）＞0，

∴f（x ₁）＞f（x ₂）…（10分）

函数y=f（x）在（1，+∞）单调递减…（12分）