四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90゜,∠DCB=75゜,以CD为边的等边△CDE的顶点E在AB上.

1个回答

  • 解题思路:(1)过D点作DG⊥BC于G.由条件证明△DGC≌△CBE就可以得出DG=BC,再由矩形的性质就可以得出结论;

    (2)延长BF交AD的延长线于M,可以得出BF=BC=AB=[1/2]BM,就可以得出△CBF≌△DFB,得出DF=CF而得出结论.

    证:(1)过D点作DG⊥BC于G.

    ∴∠DGC=∠DGB=90°.

    ∵△CDE为等边三角形,

    ∴DC=DE,∠DCE=60°.

    ∵∠DCB=75゜,

    ∴∠BCE=15°.

    ∵AD∥BC,∠A=90゜,

    ∴∠ABC=∠DGC=90°,

    ∴∠BEC+∠BCE=90°,四边形ABGD是矩形,

    ∴∠BEC=75°,AB=DG.

    ∴∠DCB=∠BEC.

    在△DGC和△CBE中

    ∠DGC=∠CBE

    ∠DCG=∠CEB

    DC=CE,

    ∴△DGC≌△CBE,

    ∴DG=BC,

    ∴AB=BC;

    (2)延长BF交AD的延长线于M,

    ∵∠FBC=30゜,∠DCB=75゜,

    ∴∠BFC=75°,

    ∴∠DCB=∠DFC,

    ∴BF=BC.

    ∵AD∥BC,

    ∴∠M=∠FBC=30°.∠MDF=∠BCF.

    ∵∠A=90゜,

    ∴BM=2AB.

    ∴BF=FM=[1/2]BM.

    在△CFB和△DFM中,

    ∠CFB=∠DFM

    BF=MF

    ∠CBF=∠M,

    ∴△CFB≌△DFM,

    ∴DF=CF,

    ∴[DF/CF]=1.

    点评:

    本题考点: 全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.

    考点点评: 本题考查了平行线的性质的运用,等边三角形的性质的运用,全等三角形的性质的运用,直角三角形的性质的运用,解答时正确添加辅助线是关键.