这个问题比较复杂.10分有点少哈.
我们给正N边形的N个区域依次编上号A[1],A[2],.A[N],另外,我们把M种不同的植物,依叫做1、2、3.M.
不失一般性,我们在A[1]种上1时,我们把到每个A[i]中可能的种法记为 a[i],且,种的是1的记为b[i],种的不是1的记为 c[i],当然 a[i]=b[i]+c[i]
显然 a[1]=1,b[1]=1,c[1]=0
a[2]=M-1,b[2]=0,c[2]=a[2]-b[2]=M-1
对应于A[2]的每一种种法,在A[3]都会有M-1种种法,每一种种法会有一个是在A[3]种上1,
所以
a[3]=(M-1)^2,会有 b[3]=c[2]种是种1,c[i]=a[3]-b[3]种情况不种1
对于每个 a[i],总共会有 (M-1)^(i-1) 种种法,会有b[i]=c[i-1] 种上的是1,c[i]=a[i]-b[i]种情况不种1,这样到种A[N]的a[N]时,总共会有(M-1)^N种种法,会有 b[N]=c[N-1]种情况会种上1,会有c[N]=a[N]-b[N]没种上1,而那些种上1的情况是不允许的.
所以总的方案个数应该是 c[N]
现在我们来根据递推公式求出通项：
a[1]=1,b[1]=1
a[2]=M-1,b[2]=0
a[i]=(M-1)^(i-1),b[i]=c[i-1]=a[i-1]-b[i-1]
即 b[i]+b[i-1]=(M-1)^(i-1)
b[2]+b[1]=(M-1)^0
-b[3]-b[2]=-(M-1)^1
b[4]+b[3]=(M-1)^2
.
当i=2k为偶数时
b[2k]+b[2k-1]=(M-1)^(2k-2)
所以式子两边相加,右是公比为-(M-1)的等比数列,就有：
b[2k]+b[1]=(1-(M-1)^(2k-1))/(1+M-1)
=(1+(M-1)^(2k-1))/M
即 b[2k]=((M-1)^(2k-1)+1-M)/M
c[2k]=a[2k]-b[2k]=(M-1)^(2k-1)-((M-1)^(2k-1)+1-M)/M
=((M-1)^(2k)+M-1)/M
这是i=2k,为偶数的情况.
当i=2k-1,为奇数时
b[2k-1]=c[2k-2]=((M-1)^(2k-1)+M-1)/M
c[2k-1]=b[2k]
综合c[2k]和 c[2k-1]
就有
c[i]=((M-1)^i+(-1)^i*(M-1))/M
而对于A[1],第一次有M种选择,所以总的栽种方案就是
N*c[N]
=(M-1)^N+(M-1)*(-1)^N
(其中,M、N>2)