Question

应用概率统计证明题试证连续型随机变量ε,若在有限区间内取值,则它的数学期望E（ε）不小于这个区间左端点的值和不大于这个区

Answer 1

记其密度为f(x),而取值区间为[a,b],则有

EX=∫(积分限为a到b)xf(x)dx

≤∫(积分限为a到b)bf(x)dx (因为在[a,b]上有xf(x)≤bf(x))

=b ∫(积分限为a到b)f(x)dx =b

类似可证 EX≥a.

说明：此结论对任何有界随机变量均成立,不限于连续型.

离散情形的证明类似,都是用定义,然后适当放缩.

更一般地情形也是如此,只不过此时期望的定义超出了黎曼积分的范围：EX=∫xdF(x).