解题思路：（1）由已知条件推导出an+1+1=2（an+1），由此能证明{an+1}是等比数列．（2）由an+1≥an，得m≥−(an+1)2+1恒成立，由此能推导出当m≥-3时，能使数列{an}满足不等式an+1≥an恒成立．（3）设cn＝1an+1，则cn+1＝1an+1+1＝12an2+3an+man+1+1＝an+12(an+1)2+m−1，由此能证明1a1+1+1a2+1+…+1an+1≥1−12n．
（1）由an+1＝2a2n+3an+1an+1＝(2an+1)(an+1)an+1＝2an+1，得an+1+1=2（an+1），∵a1+1≠0，∴{an+1}是等比数列．…（4分）（2）由an+1≥an，a1=1，得an≥1，∴2a2n+3an+man+1≥an，∴m≥−an2−2an，…（6分）∴m≥...
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列递推式．
考点点评： 本题考查数列为等比数列的证明，考查使不等式恒成立的实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．