Question

如图,等圆☉O1和☉O2相交于A,B两点,☉O1经过☉O2的圆心,顺次连接A,O1,B,O2

Answer 1

(1)

首先,由于AO1、O1B、BO2、O2A都相等,所以四边形AO1BO2是菱形,所以其对角线AB平分∠O1AO2,即∠CAE=∠DAO2.这是条件1.

然后,因为AC是圆O1的直径、CE是切线,所以∠ACE是直角；同时,因为点O2在圆O1上,所以∠AO2C也是直角,两个直角相等.这是条件2.

根据条件1和条件2,三角形ACE和AO2D相似.所以CE / O2D = AC / AO2.AC是直径,AO2是半径,所以比值是2,证毕.

(2)

易证AO1 = O1O2 = O2A,所以菱形AO1BO2是由两个正三角形拼成的,即∠O2AB = ∠O2BA = 30°,∠AO2B = 120°.

又∠AO2D = 90°,所以∠BO2D = 30°.∠O2BD也是30°,所以BD = O2D.

在直角三角形AO2D中,因为∠O2AD = 30°,所以AD = 2*O2D.所以AD = 2*BD.

所以三角形AO2D的面积是三角形BO2D的面积的2倍.