Question

已知函数f（x）=2x2-1（Ⅰ）用定义证明f（x）是偶函数；（Ⅱ）用定义证明f（x）在（-∞，0）上是减函数．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由偶函数的定义即可证明；

（Ⅱ）根据定义法证明单调性的步骤即可证明．

（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域为R，对于任意的x∈R，都有f（-x）=2（-x）²-1=2x²-1=f（x），∴f（x）是偶函数．

（Ⅱ）证明：在区间（-∞，0]上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，则有

f(x1)−f(x2)＝(2x12−1)−(2x22−1)＝2(x12−x22)＝2(x1−x2)•(x1+x2)，

∵x₁，x₂∈（-∞，0]，x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＜0，

即（x₁-x₂）•（x₁+x₂）＞0

∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x）在（-∞，0）上是减函数．

点评：

本题考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查函数奇偶性与单调性的证明，属于基本概念与基本方法考查题，此类题要求熟练掌握，保证不失分．