Question

设函数f（x）=ex（sinx-cosx），若0≤x≤2014π，则函数f（x）的各极大值之和为（　　）

Answer 1

解题思路：先求出其导函数，利用导函数求出其单调区间，进而找到其极大值f（2kπ+π）=e^2kπ+π，再利用数列的求和方法来求函数f（x）的各极大值之和即可．

∵函数f（x）=e^x（sinx-cosx），

∴f′（x）=（e^x）′（sinx-cosx）+e^x（sinx-cosx）′=2e^xsinx，

∵x∈（2kπ，2kπ+π）时，f′（x）＞0，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，f′（x）＜0，

∴x∈（2kπ，2kπ+π）时原函数递增，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，函数f（x）=e^x（sinx-cosx）递减，

故当x=2kπ+π时，f（x）取极大值，

其极大值为f（2kπ+π）=e^2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]

=e^2kπ+π×（0-（-1））

=e^2kπ+π，

又0≤x≤2014π，

∴函数f（x）的各极大值之和

S=e^π+e^3π+e^5π+…+e^2013π

=

eπ(1−(e2π)1007)

1−e2π
^{=
eπ(1−e2014π)
1−e2π．
故选：B}．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题主要考查利用导数研究函数的极值以及等比数列的求和．利用导数求得当x=2kπ+π时，f（x）取极大值是解题的关键，利用导数研究函数的单调性与最值是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．