Question

已知数列{a n }的前n项和S n 和通项a n 满足S n = 1 2 （1-a n ）．

Answer 1

（1）∵S _n=

1

2 （1-a _n），∴n≥2时，S _n-1=

1

2 （1-a _n-1）．

两式相减可得a _n=

1

2 （a _n-1-a _n），∴

a n

a n-1 =

1

3

∵n=1时，a ₁=S ₁=

1

2 （1-a ₁），∴a ₁=

1

3

∴数列{a _n}是以

1

3 为首项，

1

3 为公比的等比数列

∴a _n=

1

3 •(

1

3 ) n-1 = (

1

3 ) n ；

（2）证明：b _n=na _n=n• (

1

3 ) n

令T _n=b ₁+b ₂+…+b _n，即T _n=1•

1

3 +2• (

1

3 ) 2 +…+n• (

1

3 ) n

∴

1

3 T _n=1• (

1

3 ) 2 +2• (

1

3 ) 3 +…+（n-1）• (

1

3 ) n +n• (

1

3 ) n+1

两式相减可得

2

3 T _n=1•

1

3 +1• (

1

3 ) 2 +1• (

1

3 ) 3 +…+1• (

1

3 ) n -n• (

1

3 ) n+1 =

1

3 [1-(

1

3 ) n ]

1-

1

3 -n• (

1

3 ) n+1 =

1- (

1

3 ) n

2 -n• (

1

3 ) n+1

∴T _n=

3[1- (

1

3 ) n ]

4 -

3n

2 • (

1

3 ) n+1 ，

∴T _n＜

3

4 ．